¿PARA QUE SIRVE LA CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN?

¿PARA QUE SIRVE LA CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN?

Para encontrar los Máximos y Mínimos en una función.

Por ejemplo; para encontrar los máximos y mínimos,, primero debo de derivar la función, y de ahí igualarla a 0 pero; a la fuerza me debe de dar dos valores de x? o solamente con 1 valor (puntos críticos) basta para saber los máximos y mínimos de la función  También, para qué sirve la 2° derivada, se supone que es para ver la concavidad, pero una vez que gráfico,,, ya veo donde se encuentran los máximos y los mínimos (concavidades).. ¿O para que me sirve la 2° derivada?

 Debes derivar una vez a la función a la cual quieres conocerle los máximos y mínimos. Al derivar una vez, te quedará otra función. A esta última debes igualarla a cero. Aquí es donde está una de tus confusiones. La cantidad de valores depende pura y exclusivamente del tipo de función que sea la derivada primera. Por ejemplo si es una función cuadrática, es posible que sean dos valores (dos raíces) para los cuales la función vale cero, como también puede ser uno o ninguno, pero no más de dos, ya que la cuadrática es de orden 2. 

Si fuese una función cubica, podrás tener como máximo tres valores para los cuales la función derivada es 0 (tres raíces) y no más. Si es una función seno o coseno, entonces tendrás infinitos, ya que estas funciones son periódicas y se hacen 0 cada 360º.

En fin, la cantidad de puntos críticos depende pura y exclusivamente de la función derivada primera. Recuerda que también se considera punto crítico a los valores para los cuales la derivada primera no existe, no solo para aquellos en los cuales se hace cero.

2do) Una vez hallados los puntos críticos, debes reemplazarlos en la derivada segunda:

Si te da como resultado un número positivo, entonces es cóncava hacia arriba ("curvada" hacia abajo) con lo cual el punto es un mínimo. Te das cuenta por qué?

Si te da como resultado un número negativo, entonces es cóncava hacia abajo ("curvada" hacia arriba) con lo cual el punto es un máximo...

Imagina la concavidad como si fuera un vaso. Si es cóncava hacia abajo, el vaso está posicionado de manera correcta (no se caería algún liquido dentro de él), y por lo tanto el punto es un mínimo, siendo este el que se encuentra en el fondo del mismo.

Si es cóncava hacia arriba el vaso estaría dado vuelta (cualquier liquido se caería) entonces el punto en su base es un máximo.

FUNCIONES CUADRÁTICAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Ø ¿Qué es una función cuadrática?

Las funciones cuadráticas son aquellas funciones cuya expresión analítica sea la siguiente: F(x) = ax² + bx +c

Siendo a, b, c números reales,  y a diferente a 0.

Ø ¿Qué es una parábola?

Es la representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática. 

Ø  Vértice y eje de simetría

Las parábolas son simétricas respecto a una recta vertical llamada eje de simetría.

 El punto en el que el eje corta la parábola se llama vértice. Este punto, dependiendo de la función, coincide con el máximo o el mínimo de la misma.

Ø  Análisis de la expresión analítica

Cuando el coeficiente principal tiene valor positivo, la parábola tiene concavidad positiva.

Cuando el coeficiente principal tiene valor negativo, la parábola tiene concavidad negativa.

Cuanto más grande sea el coeficiente principal  positivo, la parábola se acerca más a eje Y. 

De la misma manera, cuánto más chico sea el valor del coeficiente principal positivo, la parábola se acerca más al eje X.

Teniendo en cuenta la siguiente expresión analítica se pueden sacar ciertas conclusiones:

f(x) =(x-h) ^2

Si h es negativo, la gráfica se trasladara hacia la derecha. La misma se desplazará h unidades, desde el origen de los ejes, siendo -x el valor del coeficiente. 

Si h es positivo,  la gráfica se  trasladara hacia la izquierda. La misma se desplazará -h 

Unidades, desde el origen de los ejes, siendo x el valor del coeficiente.

   Máximo y mínimo

            -La abscisa  del mínimo, coincidirá con la raíz de la función.  

      

           -La ordenada del mínimo será siempre el opuesto a h, por lo tanto, la raíz también. 

      

          - Cuando la función tiene concavidad positiva, no tiene máximo.

          - Cuando la función tiene concavidad negativa, no tiene mínimo 

            

      Considerando la siguiente expresión analítica se pueden obtener ciertas conclusiones:

f(x) =(x-h)^2 + k

     

     - La coordenada x del vértice, coincidirá  h, mientras que la coordenada y del vértice será igual a k. 

       -El valor de k indicará cuántas unidades se desplazará la función sobre el eje y

    - Si k es mayor a 0, la función no tendrá raíz/ raíces. 

      -Si k=0, la función tiene una sola raíz (raíz doble)

               

 

Ángulos cóncavos.

 

Sin embargo, la definición de ángulo cóncavo es la siguiente: un ángulo es cóncavo, reflejo o entrante si mide más de 180° y menos de 360° rad y menos de  rad.

Figuras geométricas cóncavas

Un polígono es cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos. Posee al menos un ángulo interior  cóncavo

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 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Máximos y Mínimos de una Función:

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.

   Función creciente                                   función decreciente

Estrategia para hallar los intervalos donde la función es creciente o decreciente

1.-Localizar los números críticos de f en (a, b).

2.- Determinar los intervalos de prueba limitados por los puntos críticos.

3.- Determinar el signo de f’(x) en un valor x en cada uno de los intervalos de prueba.

4.- De acuerdo al signo obtenido, decidir si f es creciente o decreciente.

La derivada y las funciones crecientes

FUNCIONES CONCAVAS

Funciones cóncavas

                                                                         

Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.

La concavidad, como característica del gráfico de una  función, se refiere a la condición geométrica de la región situada bajo una curva.

Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curva también lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.

Una  función cóncava, también se llama cóncava hacia abajo, mientras que una  función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

 Condiciones analíticas de concavidad y convexidad 

CONCEPTO CONCAVIDAD

¿Que es Concavidad?

Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente.

Concavidad es un concepto geométrico relacionado con el doblez de la gráfica de una función. La concavidad se toma positiva si el doblez es hacia arriba y negativa si el doblez es hacia abajo.

Una linea recta no tiene concavidad

Matemáticamente

1). f es cóncava hacia arriba si f’’ es positiva en (a, b).

Por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en (a, b) si f’’ > 0 en (a, b).

Similarmente

2). f es cóncava hacia abajo si f’’ es negativa en (a, b).

En conclusión, f es cóncava hacia abajo en (a, b) si f’’ < 0 en (a, b).

¿Que es Convexidad?

La convexidad de una curva o una  superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica; es el concepto opuesto a la concavidad.

ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD